Minggu, 08 Oktober 2017

Tujuh Hal yang Harus Kamu Tahu Sebelum Menjawab Soal Sistem Pertidaksamaan

Sistem pertidaksamaan merupakan salah satu bahasan matematika yang lumayan menyulitkan para siswa. Sajian pembahasan di buku-buku termasuk bank soal yang beredar di toko buku selama ini rasanya relatif tidak mampu membekali siswa bagaimana cara bernalar yang baik. Mengingat, soal sistem pertidaksamaan kebanyakan dituang dalam bentuk narasi dan para siswa diperintahkan untuk membuat formulasi matematisnya sedemikian rupa sehingga didapatkan solusinya.

Kondisi ini seringkali membuat siswa bingung, terlebih dalam pembahasan di buku diberikan secara singkat, bahkan sekonyong-konyong begitu saja. Hanya sekadar berorientasi pada keuntungan ekonomis, tanpa berniat membuat siswa yang nol persen pemahaman pun mengerti bagaimana teknik menyelesaikan sistem pertidaksamaan.

Contoh riilnya beberapa waktu lalu, penulis mendapati siswa yang kesusahan mengerjakan tugasnya. Menurut penuturannya, dia cuma diberi tugas begitu saja oleh gurunya tentang sistem pertidaksamaan, namun katanya, gurunya tidak memberikan penjelasan satu pun mengenai sistem pertidaksamaan itu. Mungkin ada semacam pre-test dari guru yang bersangkutan, tetapi siswa punya hak untuk diberitahu dan diberi pemahaman. Inilah yang menjadi motivasi penulis untuk berbagi bagaimana caranya membangun sistem pertidaksamaan dari soal berbentuk narasi.

Sebelum masuk pada contoh soal dan pembahasan, ada baiknya kita obrolkan dulu beberapa langkah agar mudah dalam mematematiskan sistem pertidaksamaan dari soal berbentuk narasi, yaitu:

1. Karena narasi demikian panjang, maka kita tulis dulu poin-poin utamanya untuk setiap kalimat.

2. Kumpulkan informasi sejenis sehingga secara logika berkaitan.

3. Pahami tanda pertidaksamaan yang bersesuaian dengan teks soal, kita bisa bagi menjadi beberapa:

a. "jumlahnya hanya x." Ini berarti maksimal nilainya sama dengan x atau bisa kurang sehingga kita simbolkan <= (kurang dari atau sama dengan)

b. "tak lebih dari x." Ini berarti juga kurang dari atau bisa sama dengan <=

c. "tak kurang dari x." Ini berarti minimal sama dengan x atau bisa juga lebih dari x sehingga disimbolkan >= (lebih dari atau sama dengan)

d. "bahan yang tersedia x." Berarti bahannya maksimal sebanyak x atau bisa kurang sehingga disimbolkan <=

e. "tidak dapat membawa lebih dari x." Ini artinya maksimal sebanyak x, bisa juga kurang sehingga disimbolkan <=

4. Bangun bentuk matematisnya

5. Gambarlah persamaan garisnya (bila soal memerlukan daerah arsiran dan maksimasi/minimasi fungsi kendala)

6. Carilah titik kritisnya untuk masing-masing garis sehingga dapat digunakan untuk memaksimalkan/meminimalkan nilai fungsi kendala.

7. Fungsi kendala dalam bentuk "keuntungan" atau "profit" maka pastinya kita cari nilai kritis yang dapat memaksimalkan fungsi kendala, sedangkan untuk fungsi kendala dengan bentuk risiko, misalkan "kerugian" atau "produk cacat" atau "biaya produksi" kita harus berpikir bagaimana mencari nilai kritis yang dapat meminimalkan fungsi kendala.

Sebelum lebih jauh, kita pahami dahulu bagaimana menggambar serta menentukan daerah arsiran yang benar dari sebuah pertidaksamaan. Misalkan terdapat pertidaksamaan:

x + y < 5, maka daerah arsiran jelas memuat titik origin (0,0) dan karena tidak memuat simbol =, maka garis pertidaksamaan dibuat putus-putus. Nilai x dan y dapat kita kirakan berikut:

x     y
0    5
5    0

Titik potong pada sumbu X adalah (5,0) semetara pada sumbu Y adalah (0,5). Dengan demikian dapat kita gambarkan berikut.

Kemudian, x + y > 5, maka jelas daerah origin (0,0) tidak terarsir, justru daerah lebih dari 5 yang terarsir, dan karena tanpa simbol = maka garis dibuat putus-putus dengan titik potong sama, yakni (5,0) dan (0,5). Ilustrasinya adalah sebagai berikut.
Berbeda apabila bentuknya x + y <= 5, selain arsiran mencakup titik origin, perpotongan (5,0) dan (0,5), penggambaran garis dibuat utuh karena ada simbol = (sama dengan). Ini yang membedakan, sebab pada simbol <= 5, 5 termasuk dari penjumlahan variabel x dan y itu. Artinya nilai penjumalah x dan y bisa jadi sama dengan 5. Sedangkan untuk pertidaksamaan yang hanya mencantumkan > atau < saja, maka penjumlahan nilai variabel x dan y tidak sampai sama dengan 5.
Setelah paham dasar menggambar fungsi pertidaksamaan, berikutnya kita beranjak pada bagaimana cara menyelesaikan soal pertidaksamaan berbentuk narasi. Untuk lebih praktis dan efisien waktu, berikut beberapa contoh termasuk pembahasannya.

Contoh 1
Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 40 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.200 kg. Bila x dan y berurut-urut menyatakan banyak penumpang kelas utama dan ekonomi, maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi masalah tersebut dalam x dan y adalah...

Jawab:

Sebagai awalan, kita kumpulkan informasi yang berkaitan.
Penumpang ada dua jenis, x merupakan penumpang utama, y merupakan penumpang ekonomi.

Tempat duduk tidak lebih dari dari 40 penumpang. Artinya penjumlahan x dan y maksimal sama dengan 40 atau bisa kurang sehingga:

x + y <= 40

Lalu amati soal bagasinya, dikatakan bahwa pesawat hanya dapat memuat 1.200 bagasi sehingga penjumlahan bagasi x dan y maksimal sama dengan 1.200 kg atau bisa kurang. X diketahui membawa 60 kg sedangkan y 20 kg sehingga:

60x + 20y <= 1.200 (kita bisa sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan 20)

3x + y <= 60

Kemudian kita amati jumlah penumpang x dan y. Bisa jadi tidak ada penumpang x atau y, artinya baik x maupun y bisa jadi sama dengan nol. Tapi, keduanya bisa jadi memang ada (lebih dari nol) sehingga:

x >= 0; y >= 0

Sehingga sistem persamaan dalam kasus tersebut adalah:

x + y <= 40
3x + y <= 60
x >= 0; y>= 0

Contoh 2
Diketahui luas suatu daerah parkir 360 meter persegi. Luas parkir rata-rata untuk sebuah bus 24 meter persegi dan untuk sebuah sedan 6 meter persegi. Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Jika biaya parkir untuk sebuah bus Rp. 12.500,- dan untuk sebuah sedan Rp. 5.000,-, berapakah banyaknya masing-masing jenis kendaraan agar diperoleh pendapatan maksimum...

Jawab:

Kita kumpulkan dulu informasi sejenis, mulai dari luas lahan parkir.
Luas daerah parkir 360 meter persegi. Luas parkir bus (b) 24 meter persegi dan sedan (s) 6 meter persegi. Karena lahan parkirnya memang seluas itu maka maksimal luas yang terpakai parkir b dan s = 360 sehingga:

24b + 6s <= 360
4b + s <= 60

Sekarang kita ambil poin daerah parkir tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Artinya, penjumlahan b dan s maksimal sama dengan 30 atau bisa kurang sehingga:

b + s <= 30

Jumlah kendaraan b atau s bisa jadi tidak ada (0) bisa juga ada (> 0) sehingga:

b >= 0; s >= 0

Lalu kita bentuk fungsi kendalanya. Bahwa biaya parkir b Rp. 12.500,- dan s Rp. 5.000,- sehingga pendapatan (ingat kalau pendapatan atau keuntungan tujuannya memaksimumkan) dapat dituliskan:

p = 12.500b + 5.000s

Untuk memaksimumkan, maka kita cari titik kritisnya dengan terlebih dulu menentukan daerah arsirannya.

Pers. 2
4b + s <= 60 (origin masuk)
b       s
0      60
15     0

Pers. 2
b + s <= 30 (origin masuk)
b    s
0   30
30  0

b, s >= 0

Kemudian kita cari titik potong kedua persamaan itu:

4b + s = 60
b + s = 30
------------------ (-)
3b = 30
b = 10
subsitusikan ke b + s = 30, sehingga:
s = 20

Selanjutnya kita gambarkan:
Terlihat titik kritis ada tiga, yaitu (0, 30); (15, 0) dan (10, 20), dengan memasukkan ketiga kemungkinan itu ke fungsi kendala pendapatan, maka didapatkan bahwa pendapatan maksimum saat (10, 20) yaitu Rp. 225.000,- sehingga pendapatan akan maksimum saat bus yang parkir ada 10 unit dan sedan 20 unit.