Kamis, 05 Oktober 2017

Mau Paham Trigonometri? Ini Caranya


Trigonometri merupakan salah satu bahasan yang familier dalam matematika, terlebih dalam kalkulus. Trigonometri memegang peranan penting untuk mengukur ketendensian atau kemiringan bidang serta kasus dalam kehidupan sehari-hari misalnya mengukur ketinggian gedung dengan menggunakan sudut pandang. Trigonometri dulunya dikenal sebagai goniometri dan menjadi bahasan salah satu ilmu dasar geometri analitik yang banyak diajarkan di perguruan tinggi.

Pemahaman awal kita adalah bagaimana membangun trigonometri ini. Kita gunakan segitiga siku-siku ABC dengan sudut alpha pada A, maka BC disebut depan sudut alpha, AB disebut sisi samping alpha dan CA disebut sisi miring alpha atau hipotenusa sesuai teori Phytagoras. Berikut ilustrasinya.
Phytagoras memiliki teorema yang pada umumnya menggunakan segitiga siku-siku tersebut di mana nilai c merupakan akar kuadrat dari penjumlahan kuadrat dari panjang sisi depan (a) dan sisi samping (b). Ilustrasinya sebagai berikut.
Dari bentuk perbandingan antar sisi pada segitiga inilah kemudian dikembangkan dan melahirkan pembahasan trigonometri. Dalam trigonometri terdapat tiga bentuk perbandingan yang menggunakan salah satu besar sudut pada setitiga siku-siku, yaitu sinus (disingkat sin), cosinus (disingkat cos) dan tangen (disingkat tan).

Sinus merupakan ukuran ketendensian dengan perbandingan antara sisi depan dan sisi miring. Sisi depan sebagai pembilang dan sisi miring sebagai penyebut. Biasanya untuk mempermudah mengingat, kita dapat menggunakan akronim sindemi, sinus sama dengan depan per miring.
Cosinus merupakan ukuran ketendensian yang nilainya setara dengan perbandingan sisi samping terhadap sisi miring. Lebih mudahnya dapat kita gunakan akronim cosami, cosinus sama dengan samping per miring.
Sedangkan tangen merupakan ukuran ketendensian (kemiringan) yang setara dengan rasio atau perbandingan antara sisi depan terhadap sisi samping. Lebih mudahnya kita gunakan akronim tandesa, tangen sama dengan depan per samping.
Dalam trigonometri, kajian empiris para ahli matematika menghasilkan setidaknya beberapa sudut yang disebut sudut istimewa. Sudut istimewa ini merupakan sudut yang nilai trigonometrinya dapat dihitung dengan mudah sehingga didapatkan sebuah ketetapan angka tertentu untuk setiap besaran sudutnya. Sudut istimewa itu adalah sudut 30°, 45°, 60° dan 90°.

Untuk sudut 30° dan 60° dapat kita gunakan acuan ukuran segitiga siku-siku sebagai berikut.
Sedangkan untuk sudut 45° dapat kita gunakan ukuran segitiga siku-siku berikut.
Secara umum, nilai-nilai trigonometri untuk sudut istimewa ini dapat kita tabulasinya (matrikskan) untuk masing-masing tipe ketendensian dan besarnya sudut tendensi. Untuk lebih mudahnya bisa diperhatikan saksama tabel berikut.
Agar tidak menerawang bagaimana cara kerja mengukur sesuatu dengan trigonometri, berikut contoh santainya.

Contoh 1
Sebuah pohon rimbun di siang hari tersinari cahaya matahari sedemikian rupa sehingga membentuk bayangan sejauh 25 meter diukur dari pangkal batangnya. Bila kemiringan antara bidang data ke pangkal batang terhadap puncak pohon sebesar 30°, maka perkiraan tinggi pohon (x) adalah...meter
Jawab:
Amati, yang diketahui samping, yang ditanya sisi depan. Maka kita tepat bila gunakan tangen, sebab tandesa, tangen harus diketahui sisi depan dan samping.

tan 30° = depan / samping
tan 30° = x / 25
Nilai tan 30° berapa? Ya, lihat di tabel, yaitu √3/3 sehingga:

√3/3 = x / 25
x = 25√3/3
Jadi, tinggi pohon kita perkirakan sebesar 25√3/3 meter.

Contoh 2
Diketahui sebuah pesawat menukik untuk landing di lapangan landas. Seorang copilot melihat lurus seekor burung yang terbang lurus dan sudut deflasi sebesar 30°. Tak hanya itu, copilot juga melihat sebuah pohon dengan tinggi tertentu. Jika jarak pandang copilot ke pangkal batang pohon sebesar 200 meter, maka tinggi burung diukur dari puncak pohon adalah...meter
Jawab:
Yang diketahui adalah sisi miring sudut 45° sehingga, yang kita gunakan adalah cosinus.

cos 45° = samping/miring
cos 45° = y/200
√2/2 = y/200
y = 200 x √2/2
y = 100√2 (sisi samping)

Karena yang diketahui sekarang adalah sisi samping sudut 30° dan yang ditanya adalah sisi depan sudut 30°, maka kita gunakan tangen.

tan 30° = depan/samping
tan 30° = x/100√2
√3/3 = x/100√2
x = 100√2 x √3/3
x = 100√6/3

Jadi, jarak antara burung ke puncak pohon adalah 100√6/3 meter.

Setelah kita memahami konsep dasar trigonometri, selanjutnya kita mengulas beberapa identitas trigonometri. Identitas trigonometri merupakan bentuk istimewa dari persamaan trigonometri yang banyak dimanfaatkan dalam proses perhitungan dan memanipulasi bentuk-bentuk lain menjadi lebih sederhana. Beberapa bentuk identitas trigonometri di antaranya adalah sebagai berikut.
Trigonometri sebagai fungsi yang kontinu memiliki sifat differentiable atau dapat diturunkan. Beberapa bentuk turunan dasar trigonometri yang dapat digunakan untuk perhitungan diberikan sebagai berikut.
Selain dapat diturunkan, fungsi trigonometri juga dapat diintegralkan. Beberapa bentuk hasil pengintegralan trigonometri dasar dapat dituliskan berikut.
Lantas, bagaimana dengan fungsi invers trigonometri? Fungsi invers trigonometri biasanya menggunakan simbol arc atau pangkat minus 1 pada fungsi itu. Uraian invers fungsi trigonometri itu bisa kita tuliskan sebagai berikut.
Katakanlah nilai sinus sebuah sudut (alpha) adalah sebesar akar 1 minus x kuadrat. Maka, nilai alpha merupakan arc sinus dari akar 1 minus x kuadrat atau dituliskan sebagai berikut.
Dengan demikian, kita dapat membangun sebuah pernyataan bahwa: