Rabu, 11 Oktober 2017

Mau Jago Aplikasi Integral Luas dan Volume Benda Putar? Ini Solusinya

Setelah beberapa waktu lalu, kita ngobrol soal turunan fungsi "aneh" (dapat Anda baca di sini), kali ini kita coba ngobrol soal integral atau anti-turunan fungsi. Jikalau turunan kita menurunkan satu atau lebih orde fungsi, maka dalam integral yang kita lakukan justru sebaliknya.

Integral adalah proses meningkatkan sebuah fungsi satu orde atau lebih sedemikian rupa sehingga didapatkan hasilnya. Integral secara umum terbagi menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang nilainya masih dalam bentuk persamaan dengan variabel (peubah). Dalam integral tak tentu, biasanya ditandai dengan konstanta (C) untuk setiap hasil pengintegralan tak tentu. Sebaliknya, pengintegralan tertentu fungsi menghasilkan sebuah angka riil pada selang interval kontinu tertentu. Dalam praktiknya, integral tertentu sebuah fungsi kontinu pada selang (a, b) dapat dikatakan sebagai luas daerah tersebut serta merupakan bilangan non-negatif.

Sebelum lebih jauh ngobrol tentang integral, alangkah baiknya kita belajar dahulu contoh dasar-dasar integral tak tentu dan tertentu. Integral tak tentu secara umum dapat diformulasikan sebagai berikut.
Sedangkan integral tertentu dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh 1
Hitunglah hasil integral dari fungsi berikut.
Jawab:


Contoh 2
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:


Contoh 3
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:

Contoh 4
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:

Contoh 5
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:
Setelah paham dasar mengintegralkan, baik tak tentu maupun tertentu, selanjutnya kita akan ngobrol mengenai aplikasi integral untuk mencari luas bidang kurva dan volume benda putar.

Luas Kurva
Dalam konsep lain, integral dari sebuah fungsi memang dapat dipandang sebagai luas daerah di bawah fungsi (kurva) tertentu. Katakanlah fungsi f(x) yang kontinu pada selang a hingga b, maka integral dari a sampai b f(x) adalah luas bidang di bawah kurva f(x).
Tidak hanya dibatasi sebuah fungsi saja, kita dapat pula menentukan luas bidang yang dibatasi oleh dua atau lebih fungsi yang berbeda. Katakanlah fungsi x disimbolkan sebagai f(x) dan fungsi lain yakni g(x) di mana fungsi f(x) di atas dari fungsi g(x) dan keduanya kontinu pada selang a hingga b, maka secara umum, luas bidang yang dibatasi oleh f(x) dan g(x) pada selang a hingga b dapat dirumuskan sebagai berikut.
Volume Benda Putar

Selain luas daerah yang dibatasi oleh fungsi, integral juga dapat digunakan untuk menentukan volume bentukan hasil perputaran sebuah fungsi tertentu.

Apabila ditinjau dari karakteristik ∆x atau acuan perubahan x, teknik mencari volume hasil perputaran fungsi dapat dibagi menjadi dua, yaitu teknik cakram dan teknik kulit tabung.

Kondisi yang memungkinkan menggunakan teknik cakram dalam menghitung volume benda putar ditinjau dari irisan melintang ∆x yang diputar tegak lurus terhadap poros (sumbu) putar. Secara sederhananya, teknik cakram dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Berbeda dengan teknik cakram, teknik kulit tabung dapat digunakan apabila kondisi irisan melintang ∆x diputar sejajar poros (sumbu) putar. Secara sederhana dapat diilustrasikan berikut.
Dengan mengacu pada ilustrasi teknik cakram, maka volume benda putar dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.
Sedangkan untuk teknik kulit tabung dan berdasarkan ilustrasi tersebut, maka volume benda putar dengan teknik ini dapat menggunakan rumus berikut.
Agar tidak mengawang-awang, untuk lebih jelasnya kita dapat ngobrol lebih lanjut tentang beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1
Diketahui daerah D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = √x ; y = 1 ; x = 4
Tentukan a. Luas daerah D, b. Volume benda putar jika daerah D diputar melalui sumbu Y...

Jawab:

Sebelum menghitung luas dan volume benda putarnya, lebih dulu kita gambar kurva fungsinya berikut.
Amati, bahwa ∆A = ∆x.∆y
Pilihan apakah kita pakai fungsi dalam x atau y, bebas. Namun, sebagai contoh kita gunakan ∆x, artinya kita ubah fungsi dalam x ke fungsi dalam y.

y = √x menjadi x = y^2 sehingga:

∆x = 4 - y^2 (karena fungsi x = 4 berada di atas fungsi x = y^2)

Kemudian lihat bahwa ∆y adalah 1 sampai 2 (perpotongan pada ordinat) dengan demikian:

∆A = ∆x.∆y
∆A = (4 - y^2).∆y

Maka, luas daerah D dalam bentuk integral dapat ditulis:
Volume

Amati bahwa ∆y diputar pada sumbu Y sehingga dapat kita gunakan teknik cakram dengan pengintegralan berikut:

Jari-jari luar = 4
Jari-jari dalam = y^2
Contoh 2
Diketahui daerah D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = -x^2 + 4 ; y = x + 2
Tentukan a. Luas daerah D, b. Volume benda putar jika daerah D diputar melalui sumbu X adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:
Amati, bahwa titik potong kedua kurva adalah (-2,0) dan (1,3) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Amati bahwa dalam kasus ini ∆x diputar mengelilingi sumbu X sehingga teknik cakram cocok digunakan. Jari-jari luar = (-x^2 - 4) dan jari-jari dalam = (x + 2) sehingga:

Contoh 3
Diketahui daerah D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = 4 - x^2 ; y = 3x
Tentukan a. Luas daerah D, b. Volume benda putar jika daerah D diputar melalui garis x = 4 adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:
Amati, bahwa titik potong kedua kurva adalah (1,3) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Amati bahwa titik putar di x = 4 atau dengan kata lain jari-jari putarnya (4 - x). ∆x diputar sejajar dengan sumbu putar sehingga yang relevan adalah teknik kulit tabung:

Contoh 4
Diketahui daerah D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = 1 - x^2 ; y = 1 ; x = 1
Tentukan a. Luas daerah D, b. Volume benda putar jika daerah D diputar melalui sumbu Y adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:
Amati, bahwa titik potong kedua kurva adalah (1,1) dan (0,1) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Amati bahwa sumbu putarnya sumbu Y, dan partisi ∆x diputar sejajar sumbu putar, maka teknik yang relevan adalah teknik kulit tabung, tinggi benda putarnya 0 sampai 1, jari-jarinya x, ∆y = x^2. Dengan demikian maka:

Contoh 5
Diketahui daerah D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = x^2 ; y = 1 ; x = 2
Tentukan a. Luas daerah D, b. Volume benda putar jika daerah D diputar melalui garis x = 3 adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:

Amati, bahwa titik potong kedua kurva adalah (1,1) dan (2,4) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x


Volume benda putar

Partisi ∆x terlihat diputar sejajar sumbu putar sehingga teknik yang relevan adalah kulit tabung. Tingginya dari 1 sampai 2 (lihat titik potong terhadap Y). Karena sumbu putarnya x = 3, maka jari-jarinya = (3 - x), dengan demikian maka: