Selasa, 12 September 2017

Mean dan Varians Sampel Unbiased? Ini Buktinya

Pembuktian unbiased estimator, sumber foto: dokpri.

Satu-satunya cara untuk mendapatkan penduga (estimator) untuk parameter adalah dengan menggunakan sampel. Ini merupakan keharusan ketika kita merasa cukup mengambil sebagian dari elemen populasi saja untuk diamati. Ini pula menjadi barrier atau batasan bagi kita bahwa sensus itu butuh biaya, tenaga, waktu dan pikiran relatif lebih besar ketimbang survei. Toh, statistik yang kita dapatkan kita yakini telah cukup dan mampu menjadi wakil dari sebuah populasi.

Beberapa statistik yang biasa kita peroleh dalam sebuah survei di antaranya adalah mean (rata-rata) dan varians (ragam). Berbekal dengan ukuran sampel yang cukup dan memenuhi aspek keterwakilan, kedua statistik itu kita harapkan tidak menyimpang dari parameter yang sebenarnya (true value of parameter). Inilah sebuah kondisi yang dalam obrolan kita kali ini dikenal dengan istilah unbiased (obrolan unbiased dapat dibaca di sini ya...).

Unbiased secara sederhananya didefinisikan sebagai suatu kondisi di mana nilai harapan (expected value) statistik yang didapatkan dari sejumlah sampel sama dengan nilai parameter yang sebenarnya. Secara umum, unbiased dapat kita tuliskan berikut.
Kondisi unbiased, sumber foto: dokpri.

Dengan melihat kenyataan formula tersebut, apakah mean dan varians sampel yang selama ini kita ketahui bersifat unbiased? Anggap saja kita belum percaya hal ini. Asumsi dasarnya, kita tak mudah percaya dengan sebuah teori. Dalam kesempatan inilah waktu yang tepat untuk kita buktikan bersama.

Pertama, kita akan membuktikan bahwa nilai harapan dari statistik mean itu unbiased. Hal utama yang perlu menjadi perhatian kita adalah bahwa nilai harapan untuk setiap unit atau amatan dalam data kita, itu adalah sebuah parameter mean populasi (true value). Sehingga, secara matematis dapat kita tuliskan:
Mean sampel terbukti unbiased terhadap parameter, sumber foto: dokpri.

Pembuktian selanjutnya adalah bahwa nilai harapan atau ekspektasi dari varians sampel itu unbiased terdahap parameter varians populasi. Sebagai awalan dapat kita tuliskan bahwa:
Varians sampel unbiased terhadap varians populasi, sumber foto: dokpri.

Nah, untuk pembuktiannya, kita perlu mengetahui terlebih dahulu kenyataan bahwa:
Nilai harapan varians amatan dan varians mean, sumber foto: dokpri.

Dengan demikian, maka:


Varians sampel terbukti unbiased terhadap parameter varians sebenarnya, sumber foto: dokpri.