Senin, 18 September 2017

Kurang Paham Mengenai Limit Sebuah Fungsi? Inilah Caranya

Memahami limit fungsi, sumber foto: dokpri.

Limit merupakan salah satu bahasan yang seringkali menjadi dasar memahami ilmu statistika. Terutama dalam pembahasan mengenai kecukupan sampel, teori Chebisev, Konsistensi sebuah estimator dan di dalam kalkulus sendiri. Bahasan soal limit secara lengkap dapat membaca buku berjudul Ramuan Sakti Turunan Fungsi dan Aplikasinya (2015) dan Kalkulus Dasar (akan terbit 2018). Namun karena banyaknya permintaan pembaca untuk mengulas soal limit, maka kali ini kita akan sedikit ngobrol santai bagaimana dalil limit itu secara sekilas.

Limit merupakan elemen munculnya bahasan tentang turunan sebuah fungsi dan integral fungsi. Oleh karenanya pemahaman terhadap limit haruslah kuat supaya kita dapat memperoleh substansi limit itu sendiri. Limit sebuah fungsi merupakan pendekatan (approach) dari fungsi matematik pada titik tertentu, katakanlah c sedemikian rupa sehingga dapat disimpulkan nilai terdekat limit adalah sebesar L. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
Limit fungsi, sumber foto: dokpri.

Dalam perkembangannya, dalil limit tak hanya sampai di situ. Para ahli matematika menambahkan penjelasan lebih bagaimana mendefinisikan sebuah limit fungsi mendekati nilai tertentu (c). Ada pendekatan dari sisi kiri dan ada pendekatan dari sisi kanan. Inilah yang kemudian digunakan untuk memperdalam pengertian limit fungsi.

Sebagai awalan, katakanlah kita memiliki fungsi dengan persamaan y = x + 1, kemudian kita limitkan sebuah x yang mendekati 2. Lebih jelas kita ilustrasikan berikut.
Ilustrasi limit fungsi y = x + 1, sumber foto: dokpri.

Berdasarkan ilustrasi itu, nilai limit dapat kita lakukan dari sisi kiri 2 dan dari sisi kanan 2 serta 2 itu sendiri. Limit mendekati 2 dari kiri (tanda minus di atas 2) merupakan penanda limit kiri fungsi, dan limit x mendekati 2 dari kanan (tanda plus di atas 2) merupakan limit x mendekati 2 dari kanan fungsi. Alhasil, kita dapatkan bahwa ketika x semakin mendekati 2 dari kiri maupun dari kanan, maka nilainya akan semakin mendekati angka 3. Terlebih saat x = 2, ternyata nilai fungsi y = 2 + 1 = 3.

Kondisi ini mengartikan bahwa nilai limit kiri dan limit kanan sebuah fungsi adalah mendekati nilai yang sama, yakni L = 3. Dengan demikian dapat kita tuliskan bahwa sebuah fungsi dikatakan ada limit (exist) jika dan hanya jika nilai limit x mendekati c dari kiri fungsi sama dengan nilai limit x mendekati c dari kanan fungsi sama dengan nilai limit x mendekati c fungsi dan hasilnya mendekati L. Secara matematisnya dapat dituliskan berikut.
Syarat keberadaan limit fungsi, sumber foto: dokpri.

Sebaliknya, apabila salah satu nilai limit tidak sama dengan, maka dikatakan limit fungsi tidak ada (dont exist). Berikut ini beberapa kondisi ada atau tidaknya sebuah limit fungsi x mendekati nilai c.
Ilustrasi A, sumber foto: dokpri.

Ilustrasi A. Kondisi ini dikatakan ada limit (exist) karena fungsi jelas kontinu pada titik c dan limit c dari kiri sama dengan limit c dari kanan.
Ilustrasi B, sumber foto: dokpri.

Ilustrasi B. Kondisi ini adalah kondisi tidak ada limit x mendekati c sebab meskipun limit x mendekati c dari kiri dan dari kanan sama, tetapi nilai limit ketika x sama dengan c itu sendiri justru tak terhingga alias tak sama.
Ilustrasi C, sumber foto: dokpri.

Ilustrasi C. Kondisi ini dapat dikatakan ada limit sebab nilai limit x mendekati c dari kiri dan kanan sama dengan nilai limit x mendekati c itu sendiri.
Ilustrasi D, sumber foto: dokpri.

Ilustrasi D. Kondisi yang seperti ini dikatakan tidak ada limit dari fungsi f(x), sebab nilai limit x mendekati c dari sisi kiri jelas tak sama dengan nilai limit x mendekati c dari sisi kanan. Terlihat dari nilai y yang berbeda ketika x mendekati c. Saat x mendekati c dari kiri menyebabkan nilai fungsi mendekati y1 (L1), sedangkan saat x mendekati c dari kanan menyebabkan nilai fungsi mendekati y2 (L2).