Sabtu, 26 Agustus 2017

Rata-ratanya Data

Rata-rata sebuah data, sumber foto: dokpri.

Rata-rata atau yang biasa dikenal dengan mean merupakan istilah yang sering kita dengar. Istilah ini sedemikian melekat pada data dan fenomena keseharian kita sehingga suatu ketika, kita pun juga sempat terkecoh dengannya. Namanya saja rata-rata, ia merupakan angka atau nilai "pukul rata" segala hal hasil kegiatan statistik, baik survei ataupun sensus. Karena sifatnya yang "pukul rata" ini pula, banyak hal yang justru membuat kita bertanya-tanya apakah nilainya benar atau salah.

Sebagai salah satu penduga titik (point estimator), rata-rata menempati posisi sentral untuk menditeksi adanya ketidaknormalan dan tingkat penyimpangan suatu unit atau amatan data terhadap "keumuman" sebaran data. Jika secara umum, amatan data bernilai besar, sedangkan masih ada sebuah amatan yang nilainya kecil, maka dikatakan amatan itu adalah sebuah amatan yang menyimpang terhadap "keumuman" data.

Manfaat memahami rata-rata (mean) adalah kita dapat mengetahui pola sekaligus sebaran data. Selain itu, kita dapat menditeksi adanya unit atau amatan data yang menyimpang jauh dari rata-rata data serta menghitung seberapa besar tingkat penyimpangannya. Pun, dengan informasi rata-rata ini, kita bisa melihat kemencengan data (skewness) dan dapat mengetahui kehomogenan data.

Rata-rata Sebenarnya, Siapa Yang Tahu?

Kebanyakan orang masih salah paham dalam memahami rata-rata. Kesalahpahaman ini bahkan berdampak pada masalah sosial, budaya, politik bahkan boleh jadi terjadi pertikaian. Beberapa contoh tekstual tentang rata-rata adalah sebagai berikut:

"Rata-rata pengeluaran Rp. 11.000,- tidak termasuk Miskin."

"Rata-rata siswa dari keluarga Miskin mendapatkan Kartu Indonesia Pintar (KIP)."

"Rata-rata penduduk Miskin menerima Bantuan Langsung Tunai."

Kemudian kita melalukan pengamatan terhadap kondisi di sekitar kita dan didapatkan hasil berikut:

"Penguaran Rp. 11.000,- itu buat beli gorengan 11 biji saja. Gula 1/2 kg saja seharga Rp. 8.000,-. Sepertinya salah hitung itu, salah datanya!"

"Katanya keluarga Miskin dapat KIP, tetangga saya Miskin dia tidak dapat KIP tuh!"

"Katanya orang Miskin dapat BLT, kok tetangga saya hidup di rumah bambu beratap rumbia nggak dapat BLT? Salah tuh datanya!"

Dari beberapa hal terkait rata-rata tersebut, coba kita ulas secara sederhana dengan ilustrasi berikut:

Ilustrasi, sumber foto: dokpri.

Katakanlah rata-rata (simbol x bar) diwakili oleh garis merah. Kemudian terdapat dua buah unit data atau amatan, masing-masing amatan A berada di atas rata-rata dan amatan B berada di bawah rata-rata. Garis merah menunjukkan letak nilai yang "mewakili" nilai amatan A dan B sehingga antara A, B dan rata-rata (garis merah) tadi terdapat jarak. Kondisi inilah yang perlu dipahami oleh semua. Bahwa rata-rata tak bisa dibandingkan terhadap kenyataan amatan yang satu dan yang lainnya, sebab ia justru menimbulkan pertanyaan. Rata-rata berusaha untuk "mewakili" baik yang pengeluarannya orang Miskin yang sebesar Rp. 11.000,- atau lebih, orang Miskin yang mendapat KIP atau tidak, orang Miskin yang mendapat BLT atau tidak. Rata-rata bukan berarti semua. Begitu pula makna sebaliknya.

Jarak yang memisahkan amatan A, B terhadap garis merah merupakan kenyataan statistik bahwa penyimpangan sebuah amatan terhadap rata-rata adalah keniscayaan. Baik berasal dari kegiatan survei atau sensus. Rata-rata sebenarnya pun tak dapat kita hitung secara pasti, sebab yang tahu rata-rata sebenarnya hanyalah Yang Maha Tahu.

Tak lepas dari itu, kita hanya bisa mengkalkulasi rata-rata mendekati sebenarnya dengan melakukan teknik sampling yang baik dan benar, termasuk mengurangi kesalahan nonsampling dengan pelatihan petugas pendata.

Menghitung Rata-rata

Bersesuaian dengan wujud datanya, rata-rata dapat dibagi menjadi empat rumus, yaitu rata-rata aritmatika atau rata-rata biasa, rata-rata geometrik, rata-rata harmonis dan rata-rata kuadratik.

Rata-rata aritmatik adalah rata-rata yang dihitung seperti biasanya, yaitu jumlah nilai unit atau amatan data dibagi dengan banyaknya data. Untuk data berkelompok, rata-ratanya adalah rata-rata aritmatika, namun proporsional sesuai dengan frekuensi setiap kelas.

Rumus rata-rata data tunggal, sumber foto: dokpri


Rumus rata-rata data berkelompok, sumber foto: dokpri.

Selain menggunakan teknik langsung, rata-rata aritmatik khusus untuk data berkelompok juga dapat dihitung dengan yang namanya rata-rata sementara. Secara matematisnya dapat dituliskan sebagai berikut:

Rumus rata-rata sementara, sumber foto: dokpri

Rata-rata geometrik adalah rata-rata yang digunakan apabila datanya berupa indeks, pertumbuhan, indeks komposit atau variabel sejenis yang memerlukan penimbang akar pangkat jumlah unit atau amatan dalam perhitungannya. Rata-rata geometrik ini lebih robast ketimbang rata-rata aritmatik sebab ia lebih kecil dipengaruhi oleh adanya pencilan atau outlier.

Rumus rata-rata geometrik, sumber foto: dokpri.

Adakalanya, kita dihadapkan pada data harga suatu barang yang harganya berbeda-beda. Rata-rata yang bisa kita gunakan dalam perhitungan adalah rata-rata harmonis. Misalkan rata-rata harga garam, rata-rata harga cabai rawit jelang Lebaran, rata-rata harga daging jelang Idul Adha, dan sejenisnya. Secara matematis, rumus rata-rata harmonis dituliskan sebagai berikut:

Rumus rata-rata harmonis, sumber foto: dokpri

Kalau suatu data yang nilai unit atau amatannya normal, kita masih dapat menggunakan ketiga jenis rata-rata tadi. Lantas, bagaimana bila terdapat data yang nilai unit atau amatannya negatif? Untuk data yang tipenya seperti ini, kita dapat menggunakan rata-rata kuadratik. Secara matematis, rata-rata kuadratik dituliskan sebagai berikut:

Rumus rata-rata kuadratik, sumber foto: dokpri

Agar lebih familier dengan rata-rata, ada baiknya kita coba hitung beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Nilai ulangan Kalkulus mahasiswa STIS diberikan sebagai berikut:

75, 83, 85, 70, 80 dan 90

Berdasarkan data tersebut, rata-rata nilai ulangan Kalkulus adalah...

Pembahasan:

Rata-rata = (75 + 83 + 85 + 70 + 80 + 90)/6

Rata-rata = 80,167

Jadi, rata-rata nilai ulangan Kalkulus tersebut adalah 80,167

Contoh 2

Nilai ulangan Fisika 30 siswa SMA N 1 Singosari diberikan dalam tabel berikut:

  Nilai          Jumlah (orang)
60 - 69                 3
70 - 79                 7
80 - 89                12
90 - 99                 8
Jumlah               30

Berdasarkan data nilai tersebut, hitunglah rata-ratanya dengan (1) rata-rata biasa data berkelompok, (2) rata-rata sementara...

Pembahasan:

(1) rata-rata biasa
Rata-rata biasa untuk data berkelompok dapat kita hitung dengan mencari nilai tengah untuk masing-masing kelas:

Nilai tengah kelas-1 = 64
Nilai tengah kelas-2 = 74
Nilai tengah kelas-3 = 84
Nilai tengah kelas-4 = 94

Sehingga:

dengan xi adalah nilai tengah kelas ke-i, i = 1, 2, 3, 4

Rata-rata = (64 x 3 + 74 x 7 + 84 x 12 + 94 x 8)/30

Rata-rata = 82,33

(2) rata-rata sementara
Untuk menghitung rata-rata dengan rata-rata sementara, kita identifikasikan dulu bahwa frekuensi terbesar adalah kelas ke-3 dengan rentang 80 - 89. Secara trial and error, kita patok bahwa rata-rata sementara sebesar 84 (nilai tengah kelas ke-3). Dengan demikian, kita dapat mencari selisih nilai tengah masing-masing kelas terhadap nilai tengah (yang menjadi rata-rata sementara) kelas ke-3:

Nilai        Jml              Selisih
60 - 69      3            64 - 84=-20
70 - 79      7            74 - 84=-10
80 - 89     12                 0
90 - 99      8            94 - 84= 10

Sehingga:

Rata-rata = Rs + (3 x -20 + 7 x -10 + 0 + 8 x 10)/30

Rata-rata = 84 + (-1,67)
Rata-rata = 82,34

*Rs adalah rata-rata sementara

Contoh 3

Diketahui terdapat tiga indeks penyusun IPM masing-masing diberikan sebagai berikut:

Indeks Harapan Hidup (X1) = 0,76
Indeks Pendidikan (X2) = 0,83
Indeks Produk Domestik Bruto (X3) = 0,60

dari data tersebut tentukan Indeks Pembangunan Manusia metode rata-rata geometriknya!...

Pembahasan:

IPM = (X1.X2.X3)^ (1/3)

IPM = (0,76 x 0,83 x 0,60)^ (1/3)

IPM = 0,723

Jadi, IPM dengan metode rata-rata geometriknya adalah sebesar 0,723.

Contoh 4

Harga cabai keriting (dalam ribuan rupiah) per ons dalam seminggu yang lalu diberikan sebagai berikut:

12, 16, 9, 20, 21, 25, 28

Dari data tersebut, tentukan rata-rata harga cabai keriting tersebut...

Pembahasan:

Rata-rata untuk data harga yang fluktuatif lebih relevan menggunakan rata-rata harmonis:

Rata-rata = 7/[(1/12) + (1/16) + (1/9) + (1/20) + (1/21) + (1/25) + (1/28)]
Rata-rata = 16,268

Jadi, rata-rata harga cabai keriting per ons selama seminggu yang lalu adalah sebesar 16,268 (ribu rupiah).

Contoh 5

Diberikan data suhu segelas es, masing-masing dalam °C:

-10, -5, 2, 6 dan 9

Hitunglah rata-rata suhu es dalam °C!...

Pembahasan:

Karena ada data yang bernilai negatif, maka relevan menggunakan rata-rata kuadratik:

Rata-rata =[ (-10)^2 + (-5)^2 + 2^2 + 6^2 + 9^2] / 5
Rata-rata =[ (-10)^2 + (-5)^2 + 2^2 + 6^2 + 9^2] / 5

Rata-rata = 49,2

Jadi, rata-rata suhu es dalam gelas adalah 49,2°C.